O P╩NDULO DE FOUCAULT

Carlos Fiolhais
            Professor de Física da Universidade de Coimbra
e
João Augusto Mestre da Fonseca
           
Professor de físico-química do ensino secundário

Desde tempos imemoriais que o homem olha as estrelas com um entusiasmo indisfarçável. Actualmente sabe-se que a matéria de que somos feitos, isto é os átomos que nos constituem, proveio, na sua maioria, do interior das estrelas. Já alguém disse que o nosso encanto pelas estrelas é uma espécie de reconhecimento e homenagem às nossas origens. Ao observar o céu nas noites límpidas vêem-se configurações que se movem ordenadamente. Todas as estrelas se movem no sentido retrógrado, descrevendo uma órbita circular em cada dia. Foi este facto que despertou a atenção dos homens, mostrando-lhes que existem regularidades na Natureza e que podemos construir teorias para as descrever.

Os gregos da Antiguidade criaram um modelo para descrever e explicar o movimento das estrelas e dos outros astros. Imaginaram que a Terra estava fixa no centro do Universo e envolvida por uma esfera negra, a que chamaram "esfera celeste". As estrelas estavam incrustadas nesta esfera, todas equidistantes da superfície da Terra, e giravam continuamente em torno dum eixo que passa pelo centro da Terra, dando uma volta completa em cada dia, no sentido retrógrado. Daqui resulta que todas as estrelas têm de se mover com movimento circular e uniforme, no sentido dos ponteiros do relógio, exibindo sempre as mesmas configurações. Mas para descrever o movimento do Sol, da Lua e dos outros planetas visíveis a olho nu, tiveram que imaginar muitas outras esferas a rodar, dezenas de esferas, resultando um modelo assaz complicado e que não se ajustava completamente à realidade.

Esse modelo só conseguia reproduzir de uma maneira grosseira o movimento dos astros. Para explicar o movimento nos céus admitiram que a matéria celeste, a que chamaram "quinta essência", era diferente da que existia na Terra e que apenas se podia mover eternamente em volta desta.

Embora este modelo tenha sido aceite durante muitos séculos, actualmente está abandonando, em virtude das contradições que encerra. O homem aprendeu a medir a distância que nos separa das estrelas, por paralaxe trigonométrica e por método fotométricos. Quando verificou que a referida distância, para estrelas diferentes, pode diferir de milhares de anos-luz, deixou de aceitar a hipótese segundo a qual as estrelas estão todas equidistantes da Terra. Com o aperfeiçoamento dos telescópios, acabou por se descobrir que as estrelas mais próximas de nós fazem parte dum sistema estelar gigantesco com forma espiral, a que foi dado o nome de Galáxia ou Via Láctea. As viagens tripuladas à Lua, as sondas enviadas aos outros planetas assim como observações telescópicas, possibilitaram a conclusão de que os materiais que constituem os planetas, os cometas, os asterˇides, assim como a poeira e o gás interestelar, são feitos de substâncias que nos são familiares aqui na Terra. Abandonou-se, portanto, a dinâmica baseada na hipótese da "quinta essência". É assim que a ciência progride: as ideias são submetidas à prova e emenda-se tudo aquilo que não está de acordo com as observações.

O cepticismo em relação ao modelo das esferas celestes não é recente. Já no séc.III a.C. Aristarco propôs um outro modelo, um modelo heliocêntrico, que, na sua opinião, era mais adequado para descrever o movimento dos astros. Aristarco observou o tamanho da sombra da Terra sobre a Lua, durante um eclipse lunar. Com base nas dimensões dessa sombra, realizou um cálculo que o levou a pensar que o Sol é muito maior do que a Terra e que está muito mais afastado desta do que a Lua. Considerou também, que o Sol é uma estrela, que brilhava mais e parecia maior que as outras apenas por se encontrar mais próxima de nós. Assim, achava absurdo que as estrelas, com dimensões tão grandes comparadas com as da Terra e tão afastadas desta, girassem em seu redor, dando uma volta completa em cada dia. Para ultrapassar estas dificuldades, Aristarco pensou que seria mais conveniente imaginar o Sol fixo no centro do Universo, e a Terra e os outros planetas a girar em seu redor. Para explicar o movimento diário dos céus propôs a hipótese segundo a qual a Terra possui um movimento de rotação, em torno de um eixo de simetria, no sentido directo. Segundo esta hipótese, o movimento dos céus no sentido retrógrado é aparente, sendo devido ao movimento de rotação da Terra em torno do seu próprio eixo, em sentido contrário. Os contemporâneos de Aristarco e os que viveram nos séculos seguintes não aceitaram a sua hipótese. É mais fácil admitir que são as estrelas que se movem, porque as vemos mover, do que a Terra, de cujo movimento de rotação em torno do seu eixo não nos podemos aperceber directamente. Algum misticismo e más interpretações das observações também contribuíram para refutar o modelo de Aristarco, que, apesar de tudo, permitia explicar a variação anual da inclinação das trajectórias dos astros, o movimento retrógrado dos planetas e o aumento da intensidade do seu brilho durante o movimento retrógrado.

Em finais do séc.XV, um monje polaco, Nicolau Copérnico (1473-1543) propôs um novo modelo também heliocêntrico, de algum modo semelhante ao de Aristarco, mas contendo novas demonstrações e recorrendo a novas observações. Copérnico, no seu livro "As Revoluções dos Orbes Celestes", escreve o seguinte: "E porque não havemos de admitir que a rotação diária é aparente no Céu mas real na Terra? E é assim que as coisas se passam na realidade, como disse o Eneias de Virgílio: 'Nós saímos do porto e a Terra e as cidades recuam' [Eneida, III,72]". Mais tarde Galileu, Kepler e Newton adoptaram este ponto de vista, tendo este último conseguido uma explicação unificada do movimento, isto é, uma explicação do movimento nos Céus e na Terra à luz do conceito de força gravitacional, uma força universal a que estão sujeitos todos os corpos em massa.

Poder-se-ia em princípio dizer que as afirmações <<A Terra roda em torno do seu eixo uma vez por dia>> e <<Todos os astros rodam em torno da Terra uma vez por dia >> são ambas verdadeiras. Dizer que a Terra roda e que o Sol e as outras estrelas estão fixos, ou o contrário, é admitir a existência de movimento absoluto, o que é um erro. A escolha dum referencial para descrever um movimento é arbitrária: qualquer referencial pode ser escolhido. Contudo, convém escolher aquele que torna a descrição o mais simples possível.

Assim para estudar o movimento dos astros e também outros movimentos, temos toda a conveniência em optar por um referencial ligado ao Sol e às outras estrelas. Neste referencial, a Terra roda em torno do seu eixo uma vez por dia, enquanto o Sol e as estrelas permanecem fixos.

Esta opção permite-nos explicar o movimento com base na interacção gravitacional, permite interpretar certos fenómenos como o achatamento da Terra nos pólos e a variação da aceleração da gravidade com a latitude, e evita situações conflituosas, como as que acontecem quando escolhemos a Terra como referencial. Vejamos dois exemplos concretos. Conhecemos a massa das estrelas e sabemos que é muito maior que a da Terra. Consequentemente, a Terra não tem "meios" para obrigar as estrelas a girar à sua volta. Num referencial ligado à Terra só podemos explicar o movimento das estrelas em termos do antigo conceito de "quinta essência". Por outro lado, sabemos que as estrelas mais próximas da Terra são as do sistema estelar triplo chamado Alpha Centauri, a cerca de 4,3 anos-luz de distância. Todas as outras estrelas estão mais afastadas da Terra do que estas, muitas a milhares de anos-luz. Num referencial ligado Terra, todas as estrelas descrevem uma órbita circular em torno desta em cada dia, o que entra em contradição com o resultado fundamental da teoria da relatividade, que afirma que a velocidade da luz não pode ser ultrapassada. Aplicada a conhecida equação do movimento circular e uniforme (v=wr) ao movimento das estrelas, considerando a distância r que as separa da Terra e a sua velocidade angular w correspondente a um ângulo de uma volta inteira por dia, chegamos à conclusão absurda de que a velocidade das estrelas é milhares, ou mesmo milhões, de vezes superior à velocidade da luz. Em suma: é mais vantajoso, num grande número de casos, admitir que o Sol e as estrelas estão fixos e que a Terra roda, do que o contrário.

Em meados do século passado foi construído um aparelho, tão simples quanto notável, com a ajuda do qual pode ser realizada uma experiência cujos resultados só podem ser explicados em termos do movimento de rotação da Terra em torno do seu eixo. É este aparelho que vamos descrever e discutir. Chama-se pêndulo de Foucault, sendo conhecido desde há mais de cento e trinta anos. Mesmo que a Terra estivesse sempre coberta de espessas nuvens, como acontece no vizinho planeta Vénus, impossibilitando aos terrestres a observação do movimento dos astros, este aparelho bastaria para mostrar que é verdadeira a afirmação de que a Terra roda em torno do seu eixo.

Vamos abordar as duas seguintes questões:

1) O que é exactamente um pêndulo de Foucault?

2) Como é que da observação do pêndulo de Foucault podemos concluir que é válida a hipótese segundo a qual a Terra roda em torno do seu eixo?

A resposta à primeira questão é breve. Um pêndulo de Foucault é um sistema constituído por uma esfera com massa de vários quilogramas, suspensa por um fio metálico que pode ter várias dezenas de metros de comprimento, e que, como qualquer outro pêndulo, pode oscilar em torno duma posição de equilíbrio (Fig.1). Este pêndulo tem o nome do físico francês Jean Baptiste Leon Foucault (1819-1868), porque foi ele quem idealizou e montou um destes pêndulos pela primeira vez, em 1851. A experiência foi realizada na enorme abóbada do Panthéon, em Paris. O pêndulo original de Foucault era constituído por um fio de 67m de comprimento no qual estava suspensa uma esfera oca de cobre, cheia de chumbo, cuja massa era de 28 Kg. Quando realizou a experiência, Foucault distribuiu um texto anunciando os resultados, com o título <<Demonstration physique du mouvement de rotation de la Terre au moyen du pendule>>. Em 1855, a <<Royal Society>> de Londres homenageou Foucault com a Medalha Copley pelo mérito do seu trabalho. As razões pelas quais o comprimento e a massa deste pêndulo têm de ser muito maiores do que as dos pêndulos vulgares são discutidas mais adiante.

Pretendemos agora responder à segunda questão. Vamos começar por dar uma ideia intuitiva de como se pode concluir a validade da hipótese de rotação da Terra, através da observação do pêndulo de Foucault. Usamos para isso uma linguagem qualitativa e omitimos as relações matemáticas necessárias para uma descrição rigorosa do movimento dos objectos. Na parte final, vamos fazer referência à abordagem matemática desta questão e às conclusões que daí podem ser obtidas.

Vejamos, em primeiro lugar, algumas características interessantes do movimento duma pessoa em cima dum carrocel que roda em torno do seu eixo. Se uma pessoa caminhar em cima do carrocel, ao longo do raio deste, da borda para o eixo, sente que uma força misteriosa a empurra para o lado, perpendicularmente à trajectória (Fig.2).

Se o sujeito se desloca ainda ao longo de um raio, mas em sentido contrário, isto é, do centro para a borda, sente a actuação duma força igual em intensidade mas com sentido oposto: a pessoa empurrada para o lado indicado pela seta, no interior do círculo (Fig.3). Podemos concluir empiricamente que quanto maior for a velocidade com que o sujeito se desloca dentro do carrocel e quanto maior for a velocidade com que o carrocel roda, maior a intensidade da força que actua no sujeito. Também se observa experimentalmente que, se o carrocel rodar em sentido contrário, a força sobre o sujeito tem sentido inverso, relativamente às situações representadas nas figuras 2 e 3. Vejamos outros exemplos que ilustram situações semelhantes. Se pusermos um berlinde a oscilar, dentro duma superfície esférica (por exemplo, uma bola de plástico cortada ao meio), a projecção da sua trajectória num plano horizontal é um segmento de recta (Fig.4-(a) e (b)). Todavia, se o sistema for colocado num prato dum gira-discos a rodar, a projecção da trajectória do berlinde já não coincide com um segmento de recta e tem a forma representada na figura 4-(b). Tal como o sujeito no carrocel, o berlinde é empurrado para um lado, quando se desloca num determinado sentido, e empurrado para o lado contrário, quando se desloca em sentido inverso.

O sistema representado na figura 5 é um pêndulo pequeno cujo suporte está ligado a um prato giratório. Rodando o prato em torno da vertical, o plano de oscilação do pêndulo não roda. Contudo, se o observador tivesse rodado conjuntamente com o prato, diria que o plano de oscilação do pêndulo é que tinha rodado, sob a acção duma força semelhante à dos exemplos anteriores.

Vamos agora considerar o pêndulo de Foucault. O movimento deste pêndulo tem a seguinte característica especial: O seu plano de oscilação roda directamente no sentido horário (no hemisfério norte). Se for posto inicialmente a oscilar na direcção norte-sul, por exemplo, o seu plano de oscilação vai rodar no sentido dos ponteiros do relógio (Fig.6).

A rotação do plano de oscilação do pêndulo pode ser atribuída a uma força que, actuando no pêndulo perpendicularmente sua trajectória, o empurra para a direita quando este se desloca de sul para norte, e o empurra para a esquerda quando este se desloca de norte para sul (fig.7). Se analisarmos, com atenção, esta força, que modifica a trajectória do pêndulo, verificamos que ela semelhante dos exemplos anteriores: perpendicular trajectória e inverte o seu sentido quando o corpo onde actua se passa a mover em sentido oposto. Se admitirmos que o pêndulo oscila em cima dum sistema em rotação, isto é, se admitirmos que a Terra roda em torno do seu eixo, encontramos uma explicação para o movimento do pêndulo de Foucault por analogia com os exemplos que foram apresentados: o plano de oscilação do pêndulo de Foucault roda num determinado sentido porque está a oscilar em cima dum sistema a rodar em sentido contrário, a Terra; nestas condições, sofre a acção duma força peculiar, perpendicular à trajectória, que inverte o sentido quando o sentido do deslocamento é invertido, e que provoca a rotação do plano de oscilação.

Esta explicação intuitiva para o movimento do pêndulo de Foucault levanta, pelo menos, duas questões importantes: - De que tipo é a força que falamos para explicar o movimento do pêndulo? - Porque é que nós, quando andamos na rua, não sentimos o efeito dessa força?

Para explicar o movimento usamos o conceito de interacção ou força, tendo sido necessário introduzir quatro tipos diferentes de força para descrever o comportamento da natureza. Esses quatro tipos de força receberam os seguintes nomes: força nuclear forte, força nuclear fraca, força electromagnética e força gravitacional. A força que encurva a trajectória do pêndulo de Foucault, devido às suas características, não se enquadra em nenhum destes tipos de força. Será que devemos propôr um novo tipo de força para explicar o movimento do pêndulo de Faucoult? Não, porque este fenómeno não pode ser compreendido em termos do conceito de interacção. Uma interacção é uma acção recíproca entre dois ou mais corpos e não conseguimos atribuir o encurvamento da trajectória do pêndulo à acção de um ou vários corpos sobre este. Dizemos, portanto, que a "força" de que falamos para explicar o movimento do pêndulo é uma força fictícia, ou de inércia. Trata-se de uma simples artimanha cujo uso se deve à impossibilidade de explicar de outra forma o movimento dos corpos em certos referenciais. Estes referenciais, nos quais temos que usar o "truque das forças fictícias" para explicar o movimento dos corpos, chamam-se referenciais não inerciais. Pelo contrário, os referenciais onde isto não é necessário, isto é, onde é possível explicar o movimento dos corpos com base no conceito de interacção, denominam-se referenciais inerciais. O pêndulo de Foucault mostra que a Terra não um referencial inercial. Pelo contrário, usando o Sol como referencial, não necessitamos de recorrer a quaisquer forças fictícias. Para um observador no Sol é a Terra que roda, em vez do plano de oscilação do pêndulo. De facto, o Sol é um referencial inercial para o estudo dum número maior de fenómenos do que a Terra.

Vamos agora responder à segunda outra questão. Quando estamos dentro do carrocel em funcionamento sentimos bem o efeito da força que nos empurra, que, como vimos, é semelhante à que actua no pêndulo. Dissemos atrás que quanto maior é a velocidade com que o carrocel roda, maior é a intensidade da referida força. Um carrocel vulgar dá uma volta completa em aproximadamente 10s. Contudo, a Terra necessita de 24 horas, ou seja, 86 400s, para completar uma volta. Assim, a intensidade da força que empurra o pêndulo é milhares de vezes inferior à intensidade da força que actua no sujeito dentro do carrocel. Por esta razão, os seus efeitos escapam aos nossos sentidos quando andamos na rua. Para evitar confusões, convém referir que as forças fictícias, para observadores não inerciais, têm efeitos semelhantes às interacções reais; por exemplo, quando viajamos de pé num autocarro e o condutor trava bruscamente, sentimo-nos empurrados para a frente por uma força fictícia, como se o fenómeno pudesse ser atribuído a uma interacção entre nós e um outro corpo.

O estudo rigoroso do movimento do pêndulo de Foucault deve ser efectuado aplicando a segunda lei de Newton. Considera-se que na esfera do pêndulo actuam a força de tensão do fio de suspensão, o peso e a força fictícia de que falámos, que se deve ao uso da Terra como referencial e do facto desta não ser, neste caso, um referencial inercial. Esta força fictícia chamada força de Coriolis, indispensável neste problema para se poder usar a lei fundamental da dinâmica no referencial não inercial. Para tornar o problema bastante mais simples, sem contudo cometer erros significativos, temos que desprezar outras forças, de pequena intensidade comparada com as restantes, que actuam no pêndulo. Essas forças são a força de atrito do ar, a força de atrito na peça de suspensão do fio e uma outra força fictícia, a força centrífuga. Mesmo assim, só se consegue obter uma solução simples se a amplitude da oscilação do pêndulo for pequena comparada com o comprimento do fio de suspensão. Devido a esta exigência e às aproximações anteriores, as dimensões do pêndulo de Foucault, na prática, têm que ser muito maiores do que as dos pêndulos correntes. Convém que a massa do pêndulo seja tão grande quanto possível, para que a força de atrito do ar se torne pouco importante, e interessa que o comprimento do fio de suspensão seja o maior possível, para podermos realizar a experiência com uma amplitude de oscilação apreciável mas ao mesmo tempo pequena comparada com o comprimento do fio. As equações do movimento do pêndulo indicam que a trajectória do pêndulo é uma elipse alongada cujo eixo maior roda em torno da posição de equilíbrio do pêndulo com um período dado pela expressão: sendo P período de rotação, w a velocidade angular da Terra e a latitude do local onde se encontra o pêndulo.

No Panteão de Paris o pêndulo girou de acordo com esta fórmula, mostrando que a Terra roda em torno do seu eixo.

 

LEGENDAS DAS FIGURAS

Fig.l - Representação esquemática do pêndulo de Foucault

Fig.2 - O círculo representa o carrocel a rodar; as setas, no exterior deste, indicam o sentido da rotação. O sujeito desequilibra-se para o lado indicado pela seta, no interior do círculo (Nota: esta experiência pode ser realizada no carrocel duma feira, mas aconselhamos o máximo cuidado! )

Fig.3 - O mesmo de 2, mas o sujeito apenas desloca-se no sentido contrário

Fig.4 - O berlinde oscila entre as posições A' e B' em (a); a projecção da trajectória circular sobre um plano horizontal é o segmento de recta AB, representado em (b): (c) representa a projecção da trajectória quando o sistema é colocado no prato dum gira-discos a rodar (Nota: para realizar esta experiência é necessário pintar o berlinde com uma tinta adequada, para que deixe um rasto que permita visualizar a sua trajectória).

Fig.5 - Pêndulo sobre um prato de um giradiscos

Fig.6 - Movimento do pêndulo de Foucault

Fig.7 - O efeito da referida força está, nesta figura, propositadamente exagerado.

 

SAGAN E O PÊNDULO DE FOUCAULT

Carl Sagan, no seu romance de ficção científica <<Contacto>>, faz uma referência curiosa ao pêndulo de Foucault. O contexto em que se situa a referida referência é o seguinte: a directora dum grande observatório astronómico, projectado para procurar inteligência extraterreste, trava uma calorosa discussão com um clérigo fanático, após ter sido detectado um sinal vindo da estrela Vega. O tema da discussão "Ciência e Religião". A directora do Observatório considera a religião algo de muito perigoso e o padre pensa o mesmo da ciência. A esta altura, a directora usa o pêndulo de Foucault para argumentar contra o padre.