3. LANÇAMENTOS / SIMULAÇÕES DA MECÂNICA NEWTONIANA

3.1 Introdução

Não fosse uma mudança de legislação da Federação Internacional de Atletismo Amador (FIAA) em 1991, estabelecendo um dardo com novas características, e teríamos hoje valores impressionantes de recordes mundiais de lançamento do dardo. Podemos imaginar um dardo a sair para além dos limites do estádio olímpico de Atlanta em 1996, caindo na cabeça de um qualquer espectador inocente...

O finlandês Seppo Raty, fazendo jus à fama do seu país nesta disciplina do atletismo, alcançou em 2 de Julho de 1991 a marca de 96,96 m. Acrescentou "só" cerca de 5 m ao seu anterior recorde estabelecido dois meses antes. Na verdade, numa crónica desportiva do jornal "Público", em 4 de Julho de 1991, lê-se a elucidativa manchete a propósito do lançamento do dardo: "Avançar vinte anos num só mês"...

O alemão Uwe Hohn tinha chegado a 104,8 m em 1984 mas usando um modelo de dardo, o "planador", entretanto proibido pela FIAA. O facto do dardo planar, inclusivamente contra o vento, permitia alcances excepcionais no lançamento. Em 1986 a FIAA impôs aos atletas o modelo "picador". Depois de atingida a altura máxima, o dardo "picador" cairia mais "a pique", percorrendo uma menor distância horizontal.

O modelo "picador" foi aperfeiçoado pelos técnicos da modalidade; as suas modificações "laterais", sem contrariar as especificações do engenho impostas pela Federação, permitiam que este, afinal, planasse. O modelo usado por Raty, por exemplo, introduz uma pequena tira de tecido com cerca de um milímetro de espessura, que facilitava uma certa turbulência à volta do dardo, que o fazia planar melhor.

Estes modelos de dardo conhecidos por "picadores modificados" acabaram por ser proibidos pela intervenção da FIAA em 1991. O recorde de Raty não foi homologado, apenas sendo aceites os valores obtidos com o modelo liso.

O actual recorde mundial pertence ao checo Zelezny e cifra-se em 95,66 m, marca alcançada em 1993. A sua marca nos Jogos Olímpicos de Barcelona, que venceu, ficou bem aquém desse valor: 89,66 m. Dizem os entendidos que na origem desta diferença de marcas estão os chamados anabolizantes ... Nos Jogos Olímpicos, os grandes lançadores não ousam tomá-los!

A Tab. 1 apresenta uma síntese das marcas mais significativas obtidas nos últimos tempos, na modalidade do dardo. Nenhuma outra disciplina de atletismo se viu confrontada com tão incríveis melhoramentos nos resultados dos atletas. Foi este facto que levou a Federação Internacional de Atletismo a colocar um autêntico travão na série de recordes.

ANO	MARCA (m)	ATLETA	OBSERVAÇÕES
1968	91,98	Janis Lusis (URS)
1972	93,70	Janis Lusis (URS)
1976	94,58	Miklós Németh (HUN)
1980	96,72	Ferenc Paragi (HUN)
1983	99,72	Tom Patranoff (USA)
1984	104,8	Uwe Hohm (GDR)
1986	85,74	Klaus Tafelmeier (FRG)	picador (novo dardo)
1987	87,66	Jan Zelezny (TCH)
1990	90,98	Steve Backley (GBR)
1990	94,74	Jan Zelezny (TCH)	picador modificado
1991	96,96	Seppo Raty (FIN)	picador modificado
1992	94,40	Jan Zelezny (TCH)	novo picador autorizado
1993	95,66	Jan Zelezny (TCH)

TABELA 1 Principais marcas dos últimos anos no lançamento do dardo (Fonte: Federação Portuguesa de Atletismo).

Os actuais regulamentos são rigorosos, essencialmente a respeito da forma e da massa do dardo, pois estes factores estavam na base das recentes marcas espectaculares, mais do que a condição física dos atletas (Paiva e Fiolhais 1992).

A nossa reflexão irá incidir na consideração cinemática do problema, entendendo o dardo como um projéctil simples que se lança, procurando o maior alcance possível, duma altura inicial diferente de zero e enfrentando a resistência do ar. Concentramos a atenção nesses dois aspectos essenciais para o alcance de um projéctil, muito frequentemente ignorados nos manuais escolares de Física.

O estudo do lançamento do dardo nesta perspectiva pode revelar-se de grande interesse para o ensino da Física. Por exemplo, na opção de desporto das nossas escolas secundárias existe uma enorme taxa de insucesso na disciplina de Física. Talvez fosse motivador para esses alunos introduzir o lançamento de projécteis à volta da problemática dos lançamentos no atletismo, mostrando assim a ligação da Física ao desporto. Os novos currículos para o ensino secundário e os trabalhos de projecto a desenvolver no âmbito da Área-Escola vêm de encontro a este tipo de abordagem.

Para tal, entendemos que é eficaz uma ferramenta que leve os alunos a visualizar o problema em causa, e a conceber e executar numa sala de aula experiências difíceis de levar a cabo na realidade. Essa ferramenta é, sem dúvida, o computador pessoal, dotado de software adequado.

3.2 "Lançar" no computador

A trajectória de um projéctil lançado do solo, num campo gravítico uniforme e sem resistência do ar, é uma parábola de altura v02 sin2()/2g e alcance v02sin(2)/g (com v0 o módulo da velocidade inicial, o ângulo de tiro e g a aceleração da gravidade). O projéctil demora exactamente o mesmo tempo a subir e a descer. O ângulo que corresponde ao alcance máximo é 45°.

Mas, na realidade, o lançamento não é efectuado do nível do solo e a resistência do ar deve ser considerada. O que acontece então quando o projéctil é lançado de uma certa altura inicial e se enfrenta essa resistência? Será, por exemplo, que o ângulo óptimo de tiro é menor ou maior? Reparar que se têm dois efeitos distintos e para estudar um é preciso manter constantes a variável ou variáveis de que depende o outro.

A queda unidireccional de um grave com resistência do ar pode ser tratada analiticamente através de uma equação não linear (ver ponto B.1.3 no Apêndice B). Acontece que o problema a duas dimensões (com duas equações não lineares acopladas) não tem solução analítica. É possível, porém, obter uma solução numérica, usando algorítmos relativamente simples, como o algorítmo de Euler ou o algorítmo de Euler modificado. Procede-se a uma actualização em cada instante t da velocidade e posição do projéctil a partir dos valores iniciais (ver, por exemplo Stanley 1984 e Fiolhais 1992). A simulação computacional permite então um tratamento realista de fenómenos físicos associados à vida quotidiana do aluno, sem uma grande sobrecarga da complexidade matemática.

A simulação no computador não experimental nem puramente teórica; trata-se de uma "terceira via pedagógica", que não se sobrepõe às duas primeiras e antes as complementa.

Um programa de computador, com meia dúzia de linhas em linguagem "Basic" (ver Apêndice B), pode produzir um écran semelhante ao da Fig. 16 e responder à questão acima formulada. Trata-se de uma simulação que podemos integrar no tipo das difíceis ou mesmo impossíveis de realizar na prática. Com efeito, ligar e desligar a resistência do ar ou fazer lançamentos noutro planeta, por exemplo, constituem manipulações pedagogicamente úteis mas inexecuíveis no mundo real. O programa em "Basic" na sua versão não compilada, permite ao aluno verificar os algoritmos utilizados para resolver as equações de Newton e mudar de forma simples os parâmetros adequados. Edward Redish, no seu artigo "Using Computers in Teaching Physics" (Redish, 1989), evidencia a excelente qualidade pedagógica deste tipo de computação, graças ao elevado nível interactivo que se estabelece entre o aluno e o programa.

Para um objecto esférico, a força de resistência, cujo sentido é oposto ao da velocidade, tem uma grandeza proporcional ao quadrado da velocidade

(3.1)

com a velocidade do dardo e B uma constante tal que B = 1/4 r2, sendo a densidade do ar e r o raio do objecto. Embora não seja correcto tratar o dardo como uma esfera (tal seria adequado para o lançamento do peso, que abordaremos mais à frente) a modelação da força resistente pela fórmula (3.1) permite uma primeira aproximação ao problema da influência da resistência do ar. Devemos ter em mente que o dardo é um objecto aerodinâmico complicado.

A Fig. 16 representa três trajectórias possíveis de um objecto lançado de 2 m de altura, com uma velocidade inicial de 30 m/s e sujeito a uma força "empírica" de resistência do ar B/m = 0,00145 N/(m2 s-2)

FIG. 16- Programa "Dardo". Trajectórias e alcances para três lançamentos a 2 m de altura e tendo em conta a resistência do ar. Notar que o ângulo óptimo (para maior alcance) é 44,5° e não 45°, como aconteceria sem altura inicial e sem resistência do ar.

A trajectória do projéctil não é agora uma parábola. O ângulo que corresponde ao alcance máximo pode ser procurado por tentativas. Conclui-se que, para as condições dadas, é aproximadamente 44,5°. É curioso que os bons atletas efectuam os seus lançamentos com um ângulo muito próximo de 45° (pode verificar-se esse facto em registo vídeo de uma prova, se a câmara estiver colocada de forma adequada). Eles adquiriram hábitos de lançamento adequados à obtenção do máximo compatível com as leis da mecânica, simuladas no computador.

Vejamos em separado a influência no alcance da altura inicial e da resistência do ar (Lichtenberg e Wills 1978).

i) Considerando a resistência do ar inexistente, é fácil verificar que um lançamento acima do solo de uma altura h dá lugar a um ângulo de tiro óptimo ligeiramente inferior a 45°, uma vez que o problema é solúvel analiticamente (ver Apêndice B). Tem-se a seguinte relação simples entre o alcançe máximo R = xmax e o ângulo óptimo max : R = h tg(2max). O alcance máximo é ainda dado em função da velocidade inicial v0 e da altura h por R = v02(1+2 g h/v02)1/2 /g (Brown 1992). O resultado observado na Fig. 17 corrobora o resultado analítico. Com efeito, obtém-se da simulação computacional um ângulo óptimo max = 44,5°, enquanto a previsão analítica é max = 44,4° (a pequena discrepância deve-se a erros da técnica numérica utilizada).

FIG. 17- Programa "Dardo". Trajectórias e alcances para três lançamentos a 2 m de altura e sem resistência do ar. Notar que o ângulo óptimo (para maior alcance) é 44,5° e não 45°, como aconteceria se a altura inicial fosse nula.

ii) A presença do ar diminui drasticamente o alcance do projéctil. Já o efeito da resistência do ar sobre o ângulo óptimo é negligenciável. A Fig. 16, quando comparada com a Fig. 17, evidencia o que acaba de ser dito.

3.3 Recordes para o ano 2000

É interessante efectuar uma retrospectiva do lançamento do dardo e prever os valores de futuros recordes. Este tipo de exercício tem vindo a ser desenvolvido no campo da educação em disciplinas como a Matemática e a Física (The New York Times, 1991). Construimos assim o gráfico da Fig. 18, que inclui marcas significativas ao longo dos anos:

FIG. 18- Gráfico com marcas significativas do lançamento do dardo ao longo dos anos. As rectas foram obtidas por ajuste visual, uma vez que não se justificava a este caso um tratamento mais exacto.

As duas últimas intervenções da FIAA originaram as duas rectas representadas no lado direito do gráfico. É de prever que o recorde mundial no ano 2000 se situe perto dos 110 m, valor obtido com base na extrapolação dos últimos resultados efectuados com o mais recente dardo admitido nas competições. Note-se que esta é a extrapolação com o resultado mais baixo, de entre as quatro evidenciadas na figura.

3.4 Lançamento do peso

O peso é um projéctil mais simpls do que o dardo. Por isso, o seu lançamento é mais fácil de estudar em Física.

Uma questão que se pode colocar e que a simulação computacional poderá ajudar a resolver é a seguinte: "O efeito relativo da resistência do ar será maior no lançamento do dardo ou no lançamento do peso?".

Usaremos ainda o programa em "Basic" (ver ponto B.3 no apêndice B). Ajustando o valor do coeficiente empírico B/m para uma esfera de 7,26 kgf e raio 6,4cm, conforme especificações do engenho para o lançamento do peso, e tomando o valor de 1,3 kg / m3 para a densidade do ar, vem :

B/m = 1/4 ar r2 / m = 0,25 . 1,3 . 3,14 . (0,064)2 / 7,26 = 0,000576 N (m s)-2.

Consideremos dois lançamentos em condições semelhantes às dos segundos lançamentos do dardo nas Figs. 16 e 17, realizados com a altura inicial de 2 m e com o ângulo de 44,5°, com e sem resistência do ar, respectivamente. Tomando o valor de 14,5 m/s para a velocidade inicial do lançamento do peso (este valor é conseguido por tentativas na própria simulação, sabendo o actual recorde mundial) foram obtidos os seguintes resultados:

- Com resistência do ar: 22,89 m

- Sem resistência do ar: 23,17 m

Enquanto a ausência de resistência do ar aumenta em 10,2% o alcance de um dardo (tomando os alcances de 85,02 m e 93,72 m, com e sem resistência do ar, conforne as Figs. 16 e 17), o acréscimo no alcance do projéctil num eventual lançamento do peso sem resitência do ar seria apenas de 1,2%.

A resolução deste pequeno problema mostra o interesse e a relevância da simulação computacional.

3.5 Tópicos de exploração do programa "Dardo"

Um conjunto de exercícios deste tipo pode ser proposto aos alunos: "Qual seria a marca que um atleta obteria em hipotéticos Jogos Olímpicos realizados na Lua (onde não há atmosfera), se lançasse o dardo com a velocidade inicial de 30 m/s e com um ângulo de lançamento de 45°? E como seria o recorde em Marte? E qual seria a marca do lançamento do peso, com velocidade inicial de 14,5 m/s e com ângulo de lançamento de 44,5°, nesses planetas?

A título de exemplo, apresentamos um conjunto de perguntas que serviu de base à prova das Olimpíadas de Física' 94 para alunos do 10º ano de escolaridade, baseada no lançamento do dardo.

O LANÇAMENTO DO DARDO

1 O lançamento do dardo é uma das modalidades olímpicas mais nobres. A figura 1 representa três lançamentos do dardo simulados computacionalmente. Os dados correspondentes a estes lançamentos estão sumarizados na Tabela 1. A Tabela 1 apresenta mais um conjunto de alcances obtidos na simulação para vários ângulos de lançamento, em circunstâncias especiais. Treinadores e atletas utilizam este tipo de simulações para melhorarem as suas marcas.

Figura 1. Três lançamentos do dardo simulados em computador.

Lançamento	Ângulo de lançamento (°)	Alcance do dardo (m)	Observações
1	45	93.55	Sem resistência do ar e com altura inicial
2	44.5	93.72	Sem resistência do ar e com altura inicial
3	44	84.97	Com resistência do ar e com altura inicial
4	20	58.64	Sem resistência do ar e sem altura inicial
5	35	86.01	Sem resistência do ar e sem altura inicial
6	44.5	91.58	Sem resistência do ar e sem altura inicial
7	45	91.64	Sem resistência do ar e sem altura inicial
8	60	79.35	Sem resistência do ar e sem altura inicial
9	70	78.89	Sem resistência do ar e sem altura inicial

Tabela 1. Dados correspondentes a 9 lançamentos do dardo simulados em computador.

O dardo pode ser descrito, de uma forma simplificada, como um projéctil que se move a duas dimensões. Para uma dado instante t, a posição do dardo pode ser dada pelo par ordenado (x, y) tal que:

x = x0 + v0x t e y = y0 + v0y t - 1/2 g t2 , com x0 e y0 as posições iniciais segundo os dois eixos, v0x e v0y as velocidades iniciais segundo os dois eixos e g a aceleração gravítica.

1.1 Escreva as equações das velocidades segundo os dois eixos. (tome o valor v0 para a velocidade inicial do dardo e atenda ao facto de ser v0x = v cos e v0y = v sen . Note ainda que, segundo o eixo xx, não há aceleração, sendo a equação respectiva a de um movimento uniforme).

1.2 A expressão que nos dá o alcance máximo do dardo em função do ângulo de lançamento, para uma altura inicial nula, isto é, y0=0, é:

xmáx = sen (2 ) v2 / g .

Atendendo a um conjunto de dados da tabela, calcule o valor da velocidade v que foi tomado na simulação computacional (que corresponde à velocidade aproximada com que um lançador do dardo envia o engenho). DADOS: g = 9,8 ms-1.

1.3 Deduza a expressão apresentada em 1.2 (trata-se do valor de x no instante correspondente a y=0). DADOS: 2 sen () cos () = sen (2 ) .

1.4 Caracterize o vector velocidade com que o dardo do lançamento 7 chega ao solo? (se não respondeu à pergunta anterior tome o valor de 30 ms-1 para a velocidade inicial do dardo).

1.5 Interprete o menor alcance do lançamento 3 da figura 1.

1.6 Qual o alcance equivalente ao lançamento 1 nos "Jogos Olímpicos Lunares" ?

DADOS: gLua = 1/ 6 gTerra.

1.7 Porque será que, comparando os lançamentos 1 e 2 da figura 1, se verifica ser 44,5° e não 45° o ângulo óptimo de lançamento (para maior alcance), quando, para os lançamento 4 a 9 na Tabela 2, tal não acontece? Os lançadores olímpicos conhecem este facto e dele se aproveitam para optimizar os seus lançamentos.

1.8 Atendendo aos dados do gráfico da figura 2, faça uma previsão para o recorde mundial do lançamento do dardo. Fundamente tanto quanto possível a sua resposta.

NOTA: A figura 2 é semelhante à figura 18 deste trabalho, não contemplando, obviamente, as rectas para cada conjunto de pontos.

1.9 Atendendo aos resultados a que chegou na pergunta anterior, explique porque terá a Federação Internacional de Atletismo Amador imposto rigorosas restrições à constituição do dardo a partir de 1986. Foi então proibido o dardo "planador" e apenas permitido o dardo "picador".

Algumas experiências na sala de aula têm evidenciado grande adesão dos alunos face a este tipo de "desafios simulacionais". Exemplos baseados no programa "Pisa" encontram-se no Apêndice C.

3.6 O programa «Lança!»

Para além do programa em "Basic" apresentado, desenvolvemos um outro programa que trata o lançamento do dardo. Trata-se do programa "Lança!", também do projecto Softciências, um programa para ambiente "Windows", que passamos a descrever.

Os algorítmos deste programa não são muito diferentes daqueles usados no programa "Dardo", escrito em "Basic", e cujo código fonte aparece em B.3. Os aspectos gráficos estão agora melhorados assim como as possibilidades de manipulação pelo utilizador.

A Fig. 19 apresenta uma imagem do programa, correspondente a um lançamento realizado na Terra com as condições de lançamento indicadas.

FIG. 19- Lançamento do dardo na Terra, tal como aparece no programa "Lança!", do projecto Softciências.

Na Fig. 19 foi activada a opção "Gráficos" e escolhida a representação de x(t) e y(t). Também é possível observar os gráficos vx(t) e vy(t) no decurso do movimento.

É possível mostrar quatro lançamentos sobrepostos e comparar os resultados e as condições iniciais de cada um. Um clique na seta situada na parte inferior do écran activa uma pequena janela com toda a informação relativa a cada lançamento, conforme se observa na Fig. 20, correspondente a três lançamentos, o último dos quais na Lua. Se efectuarmos lançamentos em diferentes planetas a escala é ajustada de modo que o lançamento de maior alcance fique no canto inferior direito. No quadro do lado esquerdo podem-se observar as coordenadas do projéctil, que vão sendo actualizadas à medida que o dardo descreve o seu movimento.

FIG. 20- Vários lançamentos com as mesmas condições iniciais em diferentes locais, o último dos quais na Lua.

Com o computador, é possível lançar o dardo no planeta Júpiter ou numa situação de imponderabilidade. O local de lançamento pode ser seleccionado na opção "Gravidade", dentro do menú de opções. Das opções consta ainda a possibilidade de visualizar os vectores velocidade e aceleração ou de activar uma "câmara lenta" para cada lançamento.

A Fig. 21 mostra um lançamento efectuado em Júpiter. Júpiter é, de facto, um planeta gasoso mas a simulação permite o lançamento num planeta sólido com a mesma gravidade de Júpiter. Agora está activada a opção "Dardo" dentro do menú "Lançamento" (as outras duas opções são "Trajectória" e "Estroboscopia"). No canto inferior esquerdo aparecem os gráficos vx(t) e vy(t).

FIG. 21- Lançamento do dardo em Júpiter.

À semelhança do programa "Lechat" e em conformidade com a reflexão final que deixámos na introdução deste trabalho, pretendemos, desenvolvida que está uma primeira versão deste programa educacional, desenvolver um "modo jogo". Serão colocados desafios ao utilizador, que implicarão o seu desenvolvimento conceptual e o cálculo em ambiente de jogo. O "modo jogo" pode envolver desafios como "Jogos Olímpicos Lunares", "o dardo fora do estádio", etc

Alcance(m)	Ano	lançador	tipo de dardo	observações
90,98	1964	Jorna Kinnuenen	tradicional	recorde mundial
91,72	1970	Pedersen	tradicional	recorde mundial
96,72	1983	Ferenc Paragi	tradicional	recorde mundial
99,72	1983	Petranoff	planador	não homologado
104,80	1983	Uwe Hohn	planador	não homologado
81,72	1986	Seppo Raty	picador
83,94	1990	Seppo Raty	picador
89,58	1990	Steve Backley	picador	recorde mundial
96,96	1991	Seppo Raty	picador modificado	não homologado
94,74	1992	Zelezny	picador	recorde mundial
95,66	1993	Zelezny	picador	recorde mundial

1886	35,81
1890	38,98
1892	40,38
1894	40,81
1896	43,9
1897	44,5
1899	49,32
1902	50,44
1903	52,27
1906	53,9
1907	54,15
1908	57,33
1909	56,46
1910	56,6
1911	58,27
1912	61,45
1914	63,29	IAAF
1915	64,81
1919	65,55
1924	66,62
1925	67,31
1927	69,88
1928	71,01
1930	72,38
1932	74,02
1933	74,28
1934	76,66
1936	77,23
1938	77,87	2ª Grande Guerra
1953	80,41
1954	81,29
1955	81,75
1956	83,56	Planador
1959	86,04
1961	86,74
1964	87,12

A fig.1 evidencia esse rigor : desde a ponta aguçada do dardo até ao extremo oposto, um conjunto enorme de medidas são apresentadas com tolerâncias dadas com uma precisão de milímetros (1). Acresce ainda idêntico cuidado no que toca às massas das diversas partes do engenho.

Fig.1-Forma e medidas do dardo exigidas pela FIAA.

Note-se que o centro de massa do dardo não se situa no centro geométrico (para confirmar este facto, basta pendurar um dardo oficial pelo seu centro geométrico e verificar que ele não fica horizontal...). O estudo do lançamento de um dardo considerando a dinâmica de um corpo rígido justifica essa opção.

Ao leitor deixamos o desafio de programar o lançamento de um dardo, usando, por exemplo, o algoritmo de Euler (ver ref. (5), (6), (7) e (8) ) e resolver, entre outros, os seguintes problemas:

A-Qual é a velocidade inicial necessária a um atleta masculino cuja mão lança o dardo a 2,20m de altura para obter o recorde mundial de 94,76m registado por Jan Zelezny no último "meeting" de Oslo? A resistência do ar se pode descrever-se por uma força proporcional ao quadrado da velocidade, com o coeficiente de proporcionalidade atrás indicado e o utilizador utiliza o ângulo óptimo para a sua situação?

Este é o exemplo de um "problema inverso" em Física: sabem-se as condições finais e procuram-se as condições iniciais, que têm de ser encontradas por tentativas.

B-

O leitor é ainda convidado a ficar atento à leitura dos jornais para investigar qual é a melhoria da velocidade inicial quando se estabelecer o próximo recorde do mundo.

Este tipo de problemas ilustra algumas das possibilidades que o computador abriu para o ensino e aprendizagem da Física. Já que certas experiências reais são difíceis de concretizar (pode ter-se uma pista de atletismo, ou uma câmara de vídeo, mas já não uma nave espacial para ir à Lua...), pode utilzar-se um computador para "realizar" essas experiências. No "software" incorporam-se as leis da física e condições iniciais mais ou menos realistas. As técnicas de exploração computacional deveriam, na nossa opinião, ser ensinadas e aplicadas na escola paralelamente aos cálculos analíticos e à experimentação directa.