APÊNDICE B

ALGUMAS NOTAS SOBRE A QUEDA DE GRAVES E O LANÇAMENTO DE PROJÉCTEIS

B.1 A queda dos graves com resistência do ar

Vamos considerar dois modelos que descrevem de maneira diferente a força de resistência do ar sofrida por uma esfera.

Modelo A: Considera-se o fluxo laminar: As moléculas do ar afastam-se lentamente, dando lugar ao corpo. As camadas de ar deslizam umas sobre as outras.

Modelo B: Considera-se o fluxo turbulento: As moléculas afastam-se violentamente, deixando um remoinho atrás do corpo.

B.1.1 MODELO A Força de resistência linear na velocidade . (B.1.1.1) A equação do movimento é: m dv/dt = P - A v, (B.1.1.2) com P = mg e A = 6p h r = a r, (B.1.1.3) para uma esfera de raio r, sendo h a viscosidade do meio (ar). Esta é a fórmula de Stokes: a dedução faz-se a partir das equações para o movimento laminar num fluido viscoso. As constantes são h (ar) = 18,325 kg m-1 s-1, (B.1.1.4) a = 6p h =3,1 . 10 -4 kg m-1 s-1 . (B.1.1.5)

B.1.2 MODELO B Força de resistência quadrática na velocidade . (B.1.2.1) A equação do movimento é: m dv/dt = P - B v2 , (B.1.2.2) com B = (CD/2) r2 = b r2 , (B.1.2.3) para uma esfera de raio r, sendo a densidade do meio (ar). A justificação desta expressão pode fazer-se de forma qualitativa. A figura mostra a secção de ar atravessado por uma esfera durante o intervalo de tempo t: A quantidade de movimento transferida para o ar por unidade de tempo é: Mar v /t = v2 r2 (B.1.2.4)

MODELO A A velocidade terminal da esfera é: , (B.1.1.6) com a densidade do corpo. Exemplo: A gota de óleo na experiência de Millikan.

MODELO B O factor CD / 2 significa que algumas moléculas não atingem a velocidade v. Normalmente, toma-se CD = 1 / 2. Fazendo (ar) = 1,15 kg m-3, (B.1.2.5) virá: b = 1/4 = 0,9 kg m-3. (B.1.2.6) A velocidade terminal da esfera é (B.1.2.7) Exemplo: Uma pequena pedra.

B.1.3. Tratamento analítico do modelo A a uma dimensão:

Considere-se o modelo A (fluxo laminar) para descrever o movimento unidimensional de queda de uma esfera. A esfera parte com velocidade nula.

m dv/dt = mg -Av (B.1.3.1)

dv/dt = g - (A/m)v. (B.1.3.2)

Seja A/m = c = constante:

dv / (g - cv) = dt. (B.1.3.3)

Integrando ambos os membros:

- 1/c ln (g - cv) = t + D, (B.1.3.4)

com D = constante. Então:

ln (g - cv) = - c (t + D) (B.1.3.5)

g - cv = e -c(t + D)= e -cD e -ct. (B.1.3.6)

Para t=0, vem g = e -cD . Logo:

g - cv = g e -ct. (B.1.3.7)

Resolvendo em ordem a v:

v = (g - g e -ct) / c (B.1.3.8)

Integrando ambos os membros de ds/dt = (g - g e -ct) / c, vem:

s(t) = (g/c) t + (g/c2) e -ct + E , (B.1.3.9)

com E = constante.

Podemos determinar E considerando t =0

0 = 0 + g/c2 + E, (B.1.3.10)

E = - g/c2

Então, a expressão do espaço percorrido em função do tempo, para um objecto esférico que cai em fluxo laminar é:

s(t) = (g/c) t + (g/c2) e -ct - g/c2 . (B.1.3.11)

A expressão equivalente para o modelo B (fluxo turbulento) é (Coulter 1979):

s(t) = vt2/g ln (cosh (t/) ), (B.1.3.13)

com vt = (mg/B)1/2 e = vt/g.

NOTA: Usámos a expressão analítica B.1.3.13 para controlar os erros na simulação computacional da queda de um grave no programa "Pisa" (Apêndice D). Não registámos discrepâncias significativas entre os resultados da simulação e os cálculos obtidos analiticamente.

B.2 Lançamento de projécteis

Consideremos o lançamento de um projéctil a duas dimensões num campo gravítico uniforme, sem resistência do ar.

Segundo o eixo Ox'	Segundo o eixo Oy'
ax = 0 (B.2.1) vx = v0x (B.2.2) vx = v0 cos (B.2.3) x = x0 + v0x t . (B.2.4) Alcance = x max (x para y = 0) 0 = v0y - 1/2 gt2 t = (2v0 sen ) / g . (B.2.9) xmax = (v0 cos . 2 v0 sen ) /g = = 2 v2 sen cos / g. Então: xmax = sen (2 ) v2 / g . (B.2.10)	ay = g (B.2.5) vy = v0y - g t (B.2.6) vy = v0 sen - g t (B.2.7) y = y0 + v0y t- 1/2 g t 2 . (B.2.8) Altura máxima = y max (y para vy=0) 0 = v0 sen - gt t = v0 sen / g . (B.2.11) ymax= v sen (v0 sen / g) - -1/2g (sen2 v02) / g2 , ou seja ymax = (sen2 v02) / g - 1/2 (sen2 v02) / g . Então: ymax = (sen2 v02) / 2g . (B.2.12)

B.2.1 Relação entre xmax e h

Consideremos o lançamento de um projéctil sem resistência do ar (Brown 1992). Tem-se:

x = v0 cos t (B.2.1.1)

y = h + v0 sen t- 1/2 gt2 (B.2.1.2)

Resolvendo a eq. (B.2.1.1) em ordem a t e substituindo o valor de t na equação (B.2.1.2), com y = 0 vem:

x = (v02 / 2g) {sen 2 + [sen2 2 + (8gh / v02) cos2 ]1/2 } (B.2.1.3)

Fazendo dx/d = 0 na eq. (B.2.1.3), obtém-se o valor max, que é o valor de para o qual o alcance assume o valor máximo, xmax.

Resulta: cos 2max = (gh / v02) / [1 +(gh / v02)] . (B.2.1.4)

Portanto:

xmax = v02 ( 1 + 2 gh / v02)1/2 /g . (B.2.1.5)

Para h = 0, xmax = v02 /g.

B.2.2 Relação entre xmax e max .

Resolvendo a eq. (B.2.1.5) em ordem a v0 e substituindo o resultado na equação (B.2.1.3) com x= xmax e = max, chegamos a:

xmax = h tg 2max . (B.2.2.1)

B.3 O código fonte do programa DARDO

10 'DARDO - CARLOS FIOLHAIS E JOÃO PAIVA 1991- Versao CGA

20 'Dep.Fisica da Universidade P-3000 Coimbra

30 CLS : SCREEN 2

40 LOCATE 3, 10: PRINT " DARDO ";

50 LOCATE 4, 1: PRINT "Carlos Fiolhais/Joao Paiva - Dep. Fisica da Universidade- P-3000 Coimbra"

60 LOCATE 15, 4: PRINT "Prima qualquer tecla para continuar": I$ = INPUT$(1)

70 CLS : SCREEN 9

100 PRINT "Tem 3 tentativas de lançamento do dardo!"

102 PRINT " "

103 n = 0 'n = numero de tentativas'

140 T = 0: DT = .01: at = at! 'valores dos parametros'

150 n = n + 1: z = n - 1: COLOR z * 3 + 5, 6

160 IF n = 4 THEN LOCATE 25, 39: INPUT "FIM! OUTRA VEZ? 1- SIM; 2- NAO", m: IF m = 1 GOTO 70 ELSE END

165 v = 30'velocidade inicial em módulo'

167 LOCATE 2, 17 + 24 * z: PRINT n: LOCATE 2, 5 + 24 * z: PRINT "Lançamento"

170 LOCATE 4, 5 + 24 * z: INPUT "Gravidade(1, g=9.8)", g1: g = g1 * 9.8

175 LOCATE 5, 5 + 24 * z: INPUT "Resistência(1,terra)", at1: at = at1 * .00145

178 LOCATE 6, 5 + 24 * z: INPUT "Altura inicial=", AI

179 LOCATE 7, 5 + 24 * z: INPUT "Ângulo de tiro=", f

180 VX = v * COS(f * 3.14159 / 180) 'calculo de vx inicial'

190 VY = SQR(v ^ 2 - VX ^ 2) 'calculo de vy inicial'

200 x = 0: y = AI 'posiçao inicial'

220 LINE (0, 290)-(640, 290)

230 VX = VX - (at * v * VX) * DT 'calculo de novo vx'

240 x! = x!: x = x + VX * DT 'calculo de novo x'

250 VY = VY - (g + at * v * VY) * DT 'calculo de novo vy'

260 y = y + VY * DT 'calculo de novo y'

270 v = SQR(VX ^ 2 + VY ^ 2) 'calculo do modulo da velocidade'

280 T = T + DT

290 PSET (x * 5, 290 - y * 3): IF g = 0 THEN LOCATE 8, 5 + 24 * z: PRINT "Até amanha...": IF y > 50 THEN GOTO 150: ELSE GOTO 300

300 LOCATE 9, 5 + 24 * z: PRINT "x=", x: IF y < .1 THEN : IF x < 125 AND x > 1.6 AND y < .1 THEN LOCATE 22 + z, x / 1.6: PRINT n: GOTO 150 ELSE GOTO 150

310 GOTO 230