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Electromagnetismo II (2005/2006)


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Bibliografia

Exames

Alunos aprovados no exame normal

Alunos aprovados no exame de recurso


Programa

Apresentação do programa da disciplina, da bilbiografia e dos métodos de avaliação.

Breve História do Electromagnetismo.

I. As Equações de Maxwell

As equações de Maxwell e a força de Lorentz.

A equação da continuidade. Propriedades das equações de Maxwell. A forma integral das equações de Maxwell.

Dualidade e cargas magnéticas. A transformação dual para os campos no vazio. A transformação dual para o caso da existência de fontes de campo. As leis de conservação da carga eléctrica e da carga magnética. Referências às implicações da existência de cargas magnéticas quando conjugadas com a Mecânica Quântica.

Equações de Maxwell na matéria. Os vectores de polarização e magnetização. A densidade de carga ligada superficial e volúmica. A corrente superficial e volúmica de carga ligada. A corrente de polarização e a conservação da carga ligada. Leis de conservação para a carga ligada. O vector deslocamento e o vector campo de magnético. As equações de Maxwell na matéria. Meios lineares e isotrópicos: a susceptibilidade eléctrica e a susceptibilidade magnética.

A relação entre vector polarização e campo eléctrico para meios lineares e não isotrópicos.

Condiçoes fronteira entre meios materiais magnéticos e eléctricos: a continuidade das componentes dos vectores campo eléctrico, indução magnética, deslocamento e campo magnético.

O potencial escalar e o potencial vector. Definição dos campos eléctrico e de indução magnética em termos dos potenciais escalar e vectorial. A invariância de gauge e a ambiguidade dos potenciais. A condição de Lorentz. As equações dos campos para os potenciais sujeitos à condição de Lorentz. A gauge de Coulomb e as equações de campo nesta gauge.

II. Electrostática e Magnetostática

As equações de Maxwell para distribuições de carga, de correntes e campos independentes do tempo. Solução geral da equação de Maxwell para o campo eléctrico e cálculo do potentical escalar para uma distribuição estática de carga. As equações de Poisson e de Laplace.

Propriedades gerais das soluções da equação de Laplace, as funções harmónicas, para uma, duas e três dimensões: i) V(x) como média dos valores nos seus ponto vizinhos; ii) a não existência de máximos e mínimos locais. Demonstração do teorema da unicidade para a equação de Laplace: num dado volume, a solução da equação de Laplace é única se o potencial for conhecido na superfície que delimita esse volume.

Demonstração do teorema da unicidade para a equação de Poisson: num dado volume, o potencial eléctrico é único se forem conhecidas a distribuição de carga no interior desse volume e o potencial na superfície que delimita o volume.

Resolução da equação de Laplace pelo método das imagens.

Resolução da equação de Laplace, para um problema 2D, em coordenadas cartesianas pelo método da separação das variáveis. O princípio da sobreposição e bases de funções: séries de Fourier.

Resolução da equação de Laplace em coordenadas esféricas para problemas com simetria azimutal. Polinómios de Legendre: definição, fórmula de Rodrigues, relação de ortogonalidade e completude para funções definidas no intervalo -1 <= x <=1.

Resolução da equação de Laplace em coordenadas cilindricas para problemas com simetria translaccional.

Resolução numérica da equação de Laplace e Poisson. Um princípio variacional para as equações de Laplace e Poisson.

O caso particular da equação de Laplace 2D numa superfície rectangular. A introdução de uma grelha uniforme e a utilização do princípio variacional para a definição do método da relaxação nas variantes Jacobi e Gauss-Seidel. Discussão da discretização e dos erros numéricos introduzidos pelo recurso às diferenças finitas.

Expansão multipolar para o potencial eléctrico: expressão geral do potencial de uma distribuição estática de carga em termos dos polinómios de Legendre. Os termos monopolar, dipolar e quadrupolar. A invariância translaccional destes termos.

O potencial vector de uma distribuição estática de correntes eléctricas na gauge de Coulomb. Os termos monopolar e dipolar da expansão multipolar do potencial vector.

III. Leis de Conservação

O trabalho realizado contra as forças do campo e a energia potencial electrostática. A energia potencial electrostática de uma distribuição discreta e estática de cargas pontuais. A energia potencial electrostática em termos do campo eléctrico sobre todo o espaço.

A indução electromagnética. A variação temporal da densidade da energia electrostática e a densidade volúmica de energia associada ao campo de indução magnética. A energia do campo electromagnético.

O trabalho realizado pelo campo electromagnético sobre uma distribuição de cargas num dado volume. O teorema de Poynting. O vector de Poynting e sua interpretação física.

A força de Lorentz sobre uma distribuição de cargas e o momento linear associado ao campo electromagnético. O tensor de Maxwell. A lei da conservação do momento linear na presença de campos electromagnéticos e a interpretação do tensor de Maxwell com um tensor das tensões.

Cálculo da força total exercida sobre o hemisfério norte de uma distribuição esférica e homogénea de carga. A densidade de momento angular do campo electromagnético.

IV. Ondas Electromagnéticas

A equação de ondas de uma corda vibrante e as características da solução geral da equação. Sobreposição de ondas, ondas estacionárias e breve referência às transformadas de Fourier. A notação complexa para a representação de uma onda.

Condições fronteira, reflexão e transmissão de ondas. Ondas longitudinais e transversas. Polarização linear e polarização circular esquerda e direita.

A equação de onda para o campo electromagnético no vazio. Caracteristicas das ondas planas: transversalidade e relação entre o campo eléctrico e campo de indução magnética. A densidade de energia, o vector de Poynting e a densidade de momento linear de uma onda plana monocromática. Os valores médios destas quantidades. A intensidade de uma onda electromagnética. A pressão da radiação.

O teorema de Poynting em meios materiais lineares e homogéneos. A densidade de energia electromagnética em meios materiais. A equação de onda para o campo electromagnético na matéria para meios lineares e homogéneos. A velocidade de propagação das ondas electromagnéticas em meios materiais. O índice de refracção de um material.

As condições fronteira entre meios materiais. Reflexão e refracção de ondas electromagnéticas em meios materiais. As leis da óptica geométrica. A polarização das ondas reflectidas e refractada. As equações de Fresnel para o caso da onda incidente estar polarizada no plano de incidência. O ângulo de Brewster.

As equações de Fresnel para o caso da onda incidente estar polarizada na perpendicular ao plano de incidência.

A reflexão total. Amortecimento da onda transmitida na direcção perpendicular à interface que separa os dois meios materiais.

Ondas electromagnéticas em meios materiais. A densidade volúmica de carga eléctrica no meio material. A equação de ondas e a natureza do vector de onda. O "skin depth" da onda electromagnética. Características da onda electromagnética num condutor: transversalidade e a fase relativa entre o campo eléctrico e campo de indução magnética. Os casos particulares de bons e maus condutores.

Reflexão e transmissão em meios condutores: as equações de Fresnel para condutores para uma onda incidente normal à interface entre condutores. O caso particular de bons condutores.

Guias de onda: características das ondas electromagnéticas com extensão finita. Ondas TE, TM e TEM. A ausência de ondas TEM em guias de onda ôcos. Ondas TE num guia de ondas rectangular: frequências de corte, velocidade de fase e velocidade de grupo. A velocidade de grupo de uma onda quase monocromática. Ondas TEM em guias coaxiais.

V. Radiação

As equações de campo para os potenciais escalar e vector na gauge de Lorentz. Soluções gerais das equações de campo não homogéneas: os potenciais retardados e adiantados. Os potenciais retardados para um dipolo oscilante. Os campos eléctrico e de indução magnética associados a um dipolo oscilante (ondas monocromáticas esféricas). O vector de Poynting associada aos campos de um dipolo oscilante e a potência da radiação dipolar.

Fim do Curso




 
 
 
Last update: 19 Dezembro 2005