Mecânica Clássica II 

2005-2006

Início
Aulas

          

 

Sumários

 

Bibliografia

 

Classical Mechanics 3ª edição - Goldstein, Poole e Safko

Mechanics of Deformable Media - Bathia e Singh

 

Pequenas oscilações

 

    Capítulo 6 do Goldstein - Secções 6.1, 6.2, 6.3, 6.4 e 6.5

    Gráficos de amplitude e fase para um oscilador forçado e amortecido (Notebook Mathematica)

     Software livre de cálculo simbólico Maxima

 

Relatividade restrita

 

    Capítulo 7 do Goldstein - Secções 7.1-7.4, 7.6, 7.7 e 7.9

 

    Bibliografia complementar

    The Classical Theory of Fields - L. Landau, E. Lifchitz

    Special Relativity - A. P. French

 

Teoria da elasticidade

 

    Capítulos 2, 3, 4, 5, secção 6.1 e 6.2, capítulo 9, 10 do Bathia

 

    Bibliografia complementar

    Theory of Elasticity - L. Landau, E. Lifchitz , Course of Theoretical Physics, Vol. 7

 

Mecânica de fluidos

 

    Capítulo 9, 10, 13 e 15 do Bathia

 

 

Apontamentos

 

Mecânica Física - Constança Providência

Tensor das deformações - Constança Providência

Tensor das tensões - Constança Providência

 

Trabalhos de casa

 

nº 1 (a entregar até 15/3)

nº 2 (a entregar até 31/3)

nº 3 (a entregar até 21/4)             resultados

nº 4 (a entregar até 12/5)

nº 5 (a entregar até   7/6)

 

Folhas de problemas

 

 

Estrutura da frequência/exames

 

1 pergunta teórica escolhida entre duas

3 problemas escolhidos entre 4

 

Perguntas-tipo

 

Frequência (7/6/2006)                pauta

 

Exame (7/7/2006)                      pauta

 

Exame de recurso (21/7/2006)    pauta

 


Sumários

Aulas teóricas             

 

Aulas teóricas

1ª lição (14/2)

Apresentação da cadeira aos alunos. Programa da cadeira e avaliação.

 

 

2ª lição (15/2)

 

Pequenas oscilações. Formulação do problema usando o desenvolvimento em série da energia potencial. Casos de sistemas com um grau de liberdade em coordenadas cartesianas e generalizadas (pêndulo simples).

Generalização do problema para N graus de liberdade. Equação de valores próprios para o sistema de osciladores acoplados.

 

3ª lição (21/2)

 

Revisão da solução do problema de valores próprios de uma matriz e da sua diagonalização. Equação de valores próprios para o problema de pequenas oscilações e transformação para os eixos principais. Dedução das propriedades dos valores próprios e vectores próprios. Problema de valores próprios equivalente envolvendo apenas a matriz da energia potencial.

 

4ª lição (1/3)

 

Resolução do problema de uma molécula linear triatómica com o cálculo das frequências normais e respectivos vectores próprios. Significado da frequência zero. Frequências zero no caso geral de n graus de liberdade a três dimensões. Simetrias e seu efeito: frequências normais degeneradas.

 

5ª lição (7/3)

 

Vibrações forçadas. Vibrações transientes e permanentes (soluções da equação homogénea e soluções particulares

da equação completa). Efeito de ressonância. Introdução de forças dissipativas.

Solução para as coordenadas normais quando é possível a diagonalização simultânea das matrizes de energia cinética, potencial e do termo dissipativo. Frequência complexa e seu significado.

 

6ª lição (8/3)

 

Continuação da aula anterior. Caso geral de sistemas de osciladores com forças externas sinusoidais e termos dissipativos. Solução formal das equações de movimento na ausência das vibrações transientes.

Aplicação ao caso de um sistema com um grau de liberdade. Fórmulas para a amplitude e a fase do movimento

harmónico simples como função da frequência da força externa. Apresentação de gráficos feitos no programa Mathematica mostrando a dependência do efeito de ressonância em relação à intensidade do termo dissipativo.

 

7ª lição (14/3)

 

Relatividade restrita. Transformações de Galileu entre referenciais de inércia e invariância da 2ª lei de Newton: princípio de relatividade de Galileu. Oposição entre este princípio e a covariância das equações de Maxwell. Postulados de Einstein. Relatividade dos intervalos de tempo como consequência do 2º postulado. Acontecimentos e seus intervalos no espaço-tempo. Invariância desses intervalos perante transformações entre referenciais de inércia. Tipos de intervalos e sua representação num diagrama espaço-tempo: cone de luz, futuro e passado de um certo acontecimento.

 

8ª lição (21/3)

 

Continuação da aula anterior. Dedução das transformações de Lorentz de coordenadas e tempo entre dois referenciais de inércia usando a invariância dos intervalos espaço-tempo, fazendo a analogia com a transformação de coordenadas por rotação de um sistema de eixos, que deixa a soma dos quadrados das coordenadas invariante. Começo da dedução da representação das transformações de Lorentz num diagrama espaço-tempo, isto é, da representação dos eixos das coordenadas transformadas.

 

9ª lição (22/3)

 

Continuação da aula anterior. Dedução da representação dos eixos espaço e tempo correspondentes a um referencial de inércia que se desloca em relação a outro. Representação de um acontecimento nos dois sistemas de eixos correspondentes aos dois referenciais de inércia. Linhas de universo. Verificação de que as escalas dos eixos espaço e tempo correspondentes a esses dois referenciais não são iguais. Verificação qualitativa da dilatação do tempo próprio e dedução da sua expressão usando os diagramas espaço-tempo e uma hipérbole de calibração. Esboço do mesmo procedimento para a dedução da expressão da contracção de Lorentz.

 

10ª lição (28/3)

 

Continuação da aula anterior. Dedução da expressão que dá a mudança de escala nos eixos oblíquos do referencial de inércia em movimento num diagrama espaço-tempo. Escrita da transformação de Lorentz entre referenciais de inércia com velocidade relativa arbitrária. Matriz da transformação de Lorentz. Uso de duas transformações de Lorentz sucessivas com velocidades relativas segundo o eixo dos xx para deduzir a expressão da transformação de velocidades. Transformações de Lorentz homogéneas e não-homogéneas: menção do grupo de Poincaré.

 

11ª lição (29/3)

 

Continuação da aula anterior. Apresentação da expressão do ângulo de rotação de um referencial inercial que resulta da aplicação de duas transformações de Lorentz sucessivas com velocidades com direcções diferentes. Aplicação a uma partícula com movimento acelerado. Dedução da expressão da frequência de precessão de Thomas.

Tetravectores. Exemplo das coordenadas do espaço-tempo. Índices contravariantes e covariantes. Tensor da

métrica do espaço de Minkowski. Escrita do produto escalar de dois teravectores. Escalares, vectores e tensores.

 

12ª lição (4/4)

 

Continuação da aula anterior. Verificação de que as componentes covariantes de tetravectores (1-formas)

se transformam de acordo com a transformação inversa de Lorentz. Demonstração de que as componentes do

tetra-gradiente /xm são covariantes. Produto escalar de tetravectores. Construção de um tensor de 2ª ordem a partir de tetravectores e sua lei de transformação. Construção de tetravectores a partir do tetravector posição xm. Tetravector velocidade e tetravector momento.

 

13ª lição (5/4)

 

Continuação da aula anterior. Verificação de que a energia cinética tem o limite não relativista conhecido.

Tetravector força de Minkowski. Transformações de Lorentz para as componentes Fx de uma força. Escrita das equações de Maxwell de uma forma covariante. Tetravector potencial electromagnético e tensor electromagnético.

 

14ª lição (7/4) (aula de substituição)

 

Continuação da aula anterior. Escrita da força de Lorentz numa forma covariante. Forma covariante da segunda equação de Newton usando a força de Minkowski.

Colisões relativistas. Conservação do tetravector momento linear total nas colisões elásticas. Demonstração

de que esse tetravector é do tipo tempo e a relação desse facto com a existência do sistema de referência "centro do momento".

 

15ª lição (11/4)

 

Continuação da aula anterior. Referencial de laboratório e de centro do momento (CM). Relação entre a energia cinética da partícula incidente no sistema de laboratório com a energia total no sistema CM. Definição do valor Q de uma reacção. Verificação de que, para um dado valor de Q, a energia mínima necessária para produzir partículas em repouso (situação de "threshold") é maior no sistema do laboratório do que no sistema CM: implicações para a concepção de aceleradores de partículas a altas energias. Dedução da expressão que dá a velocidade do sistema CM em relação ao sistema do laboratório em termos da energia cinética e do momento da partícula incidente nesse sistema.

Formulação Lagrangiana da mecânica relativista num formalismo não-covariante. Momento canonicamente conjugado e definição do Hamiltoniano. Exemplos de Lagrangianos relativistas: movimento de uma partícula num campo electromagnético e oscilador harmónico a uma dimensão. 

 

16ª lição (19/4)

 

Teoria da elasticidade.

Transformações ortogonais e suas propriedades: distinção entre rotações e inversão de um ou três eixos. Escalares, vectores e tensores de ordem n.

Construção de escalares a partir de vectores e de vectores a partir de escalares usando o gradiente. Distinção entre vectores e pseudo-vectores e escalares e pseudo-escalares. Tensores de 2ª ordem simétricos e anti-simétricos. Diagonalização de um tensor de 2ª ordem simétrico. Construção de invariantes perante transformações ortogonais a partir de tensores de 2ª ordem.

 

17ª lição (26/4)

 

Teoria da elasticidade.

Deformação de um elemento de linha a uma dimensão e a três dimensões. Decomposição do elemento de

linha deslocado numa parte de translação, rotação e de deformação. Definição do tensor de deformações

para deformações infinitesimais. Eixos principais do tensor de deformações.

 

18ª lição (2/5)

 

Conclusão da aula anterior. Elipsóide do tensor das deformações. Significado físico do traço do tensor das deformações e das componentes diagonais e fora da diagonal do tensor das deformações (deformações de cisalhamento). Exemplo para uma deformação isotrópica e homogénea.

 

19ª lição (3/5)

 

Conclusão da aula anterior. Condições de compatibilidade do tensor das deformações.

Tensor das tensões. Definição das suas componentes. Obtenção das componentes da força por unidade de volume em termos das componentes do tensor das tensões. Condição de equilíbrio para as forças externas exercidas sobre um elemento de volume.

 

20ª lição (16/5)

 

Continuação da aula anterior. Condição do momento nulo tensões exercidas sobre um elemento de volume: simetria do tensor das tensões. Dedução das condições fronteira para o tensor das tensões numa superfície de um sólido

orientada arbitrariamente. Dedução da expressão do trabalho realizado sobre um sólido pelas tensões e forças volúmicas.

 

21ª lição (17/5)

 

Notação de Voigt para o tensor das tensões e das deformação. Lei de Hook. Energia de deformação para sólidos isotrópicos em termos de invariantes quadráticos. Coeficientes de Lamé. Lei de Hook em termos destes coeficientes e sua relação inversa. Definição do módulo de Young e a razão de Poisson. Módulo de compressão e compressibilidade. Módulo de cisalhamento.

 

22ª lição (23/5)

 

Fluidos em equilíbrio. Tensor das tensões para um líquido em repouso. Equação de equilíbrio para fluidos.

Fluidos incompressíveis. Exemplos de aplicação: pressão num líquido sujeito ao campo gravítico e forma da superfície livre de um líquido em rotação. Fluidos compressíveis. Condição de equilíbrio para um gás perfeito isotérmico: aplicações.

Dinâmica de fluidos. Derivada material do campo de velocidades.

 

23ª lição (24/5)

 

Derivada material do campo de velocidades (continuação). Equação da continuidade para um fluido.

Equação de movimento para um fluido. Tensor das tensões para um fluido perfeito (não-viscoso). Equação de Euler para um fluido perfeito. Escrita dessa equação em termos do rotacional do campo das velocidades. Escoamento irrotacional. Equação de Bernoulli.

 

24ª lição (30/5)

 

Teorema de Helmholtz-Kelvin. Equação de Laplace para um fluido com escoamento irrotacional e incompressível.

Fluidos viscosos. Tensor das tensões para fluidos viscosos e sua relação com o tensor do gradiente da velocidade. Equação do movimento para fluidos viscosos: equação de Navier-Stokes.

 

25ª lição (31/5)

 

Energia de um fluido viscoso. Dedução do termo da energia associado à viscosidade. Equação de Navier-Stokes para o escoamento de fluidos incompressíveis e na ausência de forças externas. Regime laminar. Aplicação ao escoamento estacionário entre duas placas paralelas em que uma se move com velocidade constante. Cálculo da tensão sobre as superfícies do fluido em contacto com as placas. Menção da expressão da força exercida sobre uma esfera por um fluido viscoso em regime laminar. Número de Reynolds. Valor crítico do número de Reynolds e sua associação com o regime laminar e regime turbulento.

 

 

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